La sezione aurea

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Forma G di Stradivari, costruzione geometrica descritta da Sacconi

Si sente spesso parlare di sezione aurea in molti contesti, compreso quello della liuteria. Si ritiene che Stradivari e altri liutai classici avessero costruito ed ottimizzato i modelli dei loro strumenti ricorrendo a costruzioni geometriche che facevano ricorso al concetto di sezione aurea.

Ma cos’è esattamente la sezione aurea o divina proporzione?

La sezione aurea è un particolare rapporto di lunghezze, di solito indicato con la lettera greca φ (phi) che corrisponde ad un particolare numero irrazionale. Per definirlo matematicamente, un numero irrazionale è un numero reale che non appartiene ai numeri razionali, cioè non può essere scritto come una frazione di due numeri interi.

La sezione aurea o rapporto aureo è: (1+√5)/2 = 1.6180339887…… con un numero infinito di decimali.

Tale rapporto deriva da questa semplice proporzione: dati due segmenti di lunghezze diverse a e b, il segmento somma di a + b = c, sta al più lungo, a, come questo sta al più corto, b.

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In termini matematici questo diventa:

c : a = a : b = φ

ovvero

(a+b)/a = a/b

Se rispolveriamo un po’ di semplice algebra e riscriviamo questa equazione indicando con φ il rapporto a/b, otteniamo un’equazione di secondo grado φ2 – φ – 1 = 0, che ha due soluzioni, ma di cui solo quella positiva è significativa geometricamente in quanto si riferisce a dei rapporti di lunghezza di segmenti che non possono essere negative. Ed ecco che viene fuori quel numero φ = (1+√5)/2.

A questo rapporto è sempre stato dato un significato quasi mistico, definendolo la proporzione divina, quella proporzione che dona armonia e bellezza intrinseca a qualunque cosa la possieda in sé. È il rapporto ideale fra grande e piccolo, che sembra presentarsi anche in Natura sia nel mondo microscopico sia in quello macroscopico, fino ad arrivare al macrocosmo. In questo numero i filosofi hanno da sempre ricercato un rapporto con il divino della creazione della materia e della vita. Come se in questa particolare proporzione fossero contenuti delle speciali proprietà, come se tutte le cose fatte in sezione aurea avessero speciali canoni di bellezza ed armonia, con presupposti esoterici.

Ma dicevamo che è un rapporto fra due lunghezze, fra due segmenti. Quello che per molti è difficile da comprendere è che questo rapporto è un numero irrazionale, non esprimibile come frazione di interi. Ovvero un numero mai raggiungibile in una rappresentazione realistica del suo senso matematico, con un numero infinito di cifre dopo la virgola. Per cui intanto si deve capire che ogni tentativo di rappresentare una sezione aurea è in realtà solo un’approssimazione di questo numero matematico. E fin qui non ci sarebbe niente di male. Tutto è un’approssimazione, i nostri sensi stessi non riuscirebbero a discernere oltre una certa cifra decimale. Come mi disse un professore di chimica fisica all’università, se riuscissimo a misura la costante di Planck (era per fare un esempio come un altro) con precisione fino, ad esempio, alla 40-esima cifra decimale, forse essa dipenderebbe anche dal sesso o dell’umore del giorno dello scienziato che la misura. Per dire che tutto va riportato ad un senso reale delle cose. Si possono fare delle misure che si avvicinino a questa sezione aura, ma non riprodurla esattamente con qualcosa di reale. La realtà è sempre un’approssimazione di un’entità matematica irrazionale. Si possono seguire costruzioni geometriche più o meno accurate che conducano ad individuare il segmento aureo, avvicinarsi quanto possibile, ma sarà sempre un’approssimazione. Se ci pensate, anche usando il compasso ed evitando di fare misure con il righello, ovvero usando solo tecniche di costruzione geometrica, avremo comunque un tratto reale con un certo spessore della matita, e questo ci pone già in una approssimazione di un concetto matematico.

Nel  “De divina proportione” di Luca Pacioli, pubblicato a Venezia nel 1509, il numero veniva chiamato per la prima volta come proporzione divina, dove l’aggettivo «divina» è dovuto ad un accostamento tra la proprietà di irrazionalità del numero (appunto non esprimibile per mezzo di una ratio o frazione) e l’irraggiungibile del divino:

«Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale.»

Altro aspetto difficile da comprendere della sezione aurea è che quello speciale rapporto φ è una tendenza di rapporti di segmenti, tendenza che non si raggiunge mai. Qui fa comodo riferirsi alla successione di Fibonacci, per far capire meglio il concetto di sezione aurea. Nel 1202 Leonardo Fibonacci descrisse una successione di numeri in cui semplicemente ogni termine della successione è pari alla somma dei due precedenti: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,…

Bene, il rapporto fra un termine ed il precedente di questa successione si avvicina sempre più al rapporto aureo, ma per arrivare esattamente al rapporto aureo φ si deve tendere all’infinito, ovvero quel numero irrazionale che abbiamo descritto è il numero a cui tende all’infinito il rapporto fra due termini consecutivi della successione di Fibonacci. Il legame fra questa successione e la sezione aurea e la sua scoperta contribuirono certamente ad aumentare il fascino ed il senso di mistero attorno a questo rapporto.

In matematica ci sono altri esempi di numeri irrazionali con implicazioni geometriche, basta pensare al pi-greco, π, ed il legame con la circonferenza. Se ci pensate misurare una circonferenza in modo assoluto non è mai possibile con i nostri mezzi, e la sua lunghezza non è esprimibile con segmenti di numeri interi. Il pi-greco, infatti, è la lunghezza di una circonferenza di diametro unitario, ed è un numero irrazionale.

Ciò non toglie che il concetto stesso di questo rapporto aureo sia da sempre stato utilizzato e ricercato in Pittura, architettura, musica, persino in liuteria. Si sono cercati rapporti aurei in botanica, medicina, etc… dando spesso interpretazioni molto fantasiose, altre volte molto affascinanti. Sono stati fatti anche esperimenti di psicologia, mostrando a gruppi di persone alcuni rettangoli costruiti con segmenti in sezione aurea ed altri con proporzioni diverse, chiedendo ai partecipanti quali preferissero da un punto di vista di sensazione di piacere suscitata dalla vista (vedi esperimenti sull’estetica sperimentale da Theodor Fechner (1801-1887)).

Anche in liuteria in molti liutai si sono vantati di seguire tecniche costruttive e modelli secondo le proporzioni della sezione aurea, sia per questione estetiche, sia sonore. Certo, come accennavo si può seguire una costruzione geometrica che si avvicini al concetto di rapporto φ, e magari i risultati sono stati anche piacevoli, basta soltanto avere consapevolezza che la realtà è necessariamente approssimazione di quello che è un numero matematico irrazionale, di una tendenza all’infinito mai raggiungibile. Anche assumendo di costruire il modello della forma interna secondo regole geometriche di sezione aurea, la mano di un artigiano può mantenere simile proporzione durante la lavorazione? Comunque si è arrivati ad una forma pressoché definitiva di violino, viola e violoncello nel periodo classico. Non so se basandosi sulla sezione aurea si sia giunti a questo risultato, ma fatto sta che i risultati sono stati davvero di grande valore estetico e piacere alla vista.

Per approfondire…

https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

Mario Livio, La sezione aurea, Milano, Rizzoli, 2003